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Pode o movimento aleatório de pequenas partículas fornecer um modelo para os mercados financeiros?

A natureza é a fonte mais profunda de inspiração quando se trata de conhecimento e criatividade. Em 1827, o biólogo Robert Brown examinava os grãos de pólen sob um microscópio quando percebeu algo sobre seu movimento. Eles estavam flutuando na água, mas o movimento deles era bem peculiar. Ao invés de se mover de uma maneira graciosa, como um tronco flutuando em um rio calmo, as partículas exibiam um movimento repentino e aleatório. A observação foi repetida por outros cientistas, mas todos os esforços para chegar a uma explicação foram em vão. Em 1905, Albert Einstein apareceu e apresentou uma explicação maravilhosa para esse fenômeno natural.

Albert Einstein

(Crédito da foto: Pixabay)

Breve Visão Geral

Para se ter uma idéia melhor do Movimento Browniano, imagine uma multidão lotada em um show ou evento esportivo, onde todas as pessoas estão agitando as mãos no ar. Agora, imagine-se jogando uma bola de praia no meio da multidão, onde as mãos agitadas da multidão vão bater nela. Cada vez que a bola toca a mão, ela é jogada em uma nova direção, de modo que a bola parece estar passando por um movimento aleatório. Se você imaginar uma vasta multidão de pessoas e observar o movimento das bolas por um longo período, você notará o movimento browniano em vigor. Esse tipo de movimento é uma coisa estranha: um balanço contorcendo continuamente que parece nada do que vemos no mundo cotidiano. Processos fundamentais tendem a ser suaves, como o caminho em curva de uma folha caindo ao vento, mas essas partículas de pólen parecem ter um movimento angular para elas.

Não surpreende, portanto, que algumas matemáticas estranhas sejam necessárias para fazer um bom modelo disso. O Cálculo Comum, o pão e a manteiga da ciência física, tem dificuldade em pregar o Movimento Browniano por causa de suas mudanças pontiagudas na direção; Na verdade, todo um novo sistema de cálculo teve que ser inventado para lidar com o Movimento Browniano. O modelo matemático do Movimento Browniano levou algum tempo para se desenvolver, mas quando o fez, representou um novo tipo de objeto. Como resultado, variações dele foram usadas para atacar problemas que outras técnicas não conseguiam resolver. Os biólogos usaram modelos brownianos para fazer modelos melhorados do comportamento de pássaros, peixes e insetos que se movem em grandes grupos; Ele tem sido usado para melhorar os sinais digitais ruidosos, como melhorar os ultrassons médicos.

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Movimento browniano em profundidade

Agora, vamos dar um mergulho mais profundo na compreensão do movimento browniano. Na equação acima, a função representa a posição da partícula naquele instante de tempo, onde n é o fator de escala ez é o pequeno deslocamento aleatório. No entanto, não se preocupe em digerir alguma monstruosidade matemática, pois estaremos adotando uma abordagem mais intuitiva no entendimento dessa equação. Vamos considerar um homem chamado John e assumir que ele bebeu demais. Em sua tentativa de voltar para casa, ele tenta andar em um caminho reto através de um campo. No entanto, cada passo que ele dá envolve um escalonamento aleatório para a esquerda ou para a direita; Do ponto de vista de um pássaro, seu caminho parece uma linha irregular. Isto é o que é conhecido como um passeio aleatório. John avança com firmeza, mas também se inclina para o meio do campo. Quando John chega ao outro lado do campo, ele pode ter sorte e chegar ao portão ou acabar ficando preso em uma sebe. Assim, uma pergunta que podemos fazer é … quais são as chances de ele chegar ao portão?  Embora não seja uma resposta direta, podemos obter essa resposta da teoria da probabilidade.

 Movimento browniano

(Crédito da foto: Toshiyouri / Wikimedia Commons)

Devemos esperar que John chegue ao portão (em um sentido técnico) porque seus cambistas para a esquerda e para a direita deveriam anular um ao outro. Naturalmente, qualquer caminhada poderia levá-lo a uma situação de hedge, mas se tivéssemos que apostar na posição final, deveríamos apostar no portão, já que é onde ele terminará com mais frequência. Podemos também perguntar a que distância John estaria do portão, se ele pousaria do outro lado do campo a 10 ou 30 metros do portão. O caminho de João tem o que os matemáticos chamam de  Propriedade Markoviana, que diz que a cada momento da caminhada pelo campo, o próximo passo depende apenas de onde ele estava. Na vida real, John pode começar a desviar para a esquerda, dando mais passos à esquerda, mas isso não seria mais uma propriedade markoviana. Esta propriedade é importante, pois simplifica muito as coisas.

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Até agora, tudo bem, mas ainda não temos um modelo para a Brownian Motion. Suponha que João dê n passos à frente (onde n é o número de passos dados por João), cada um acompanhado por um escalonamento à esquerda ou à direita. O movimento total em efeito é aquele que é diagonal. Para transformar isso em movimento browniano, começamos a aumentar o valor de n; mais especificamente, nós fazemos John começar a tomar medidas menores. Se ele tomar medidas com metade do comprimento, então n dobra. Agora, vamos continuar dobrando n até se tornar muito grande. O que surpreende é que as respostas a perguntas sobre esse processo – como as chances de que John acabe em uma determinada parte da fronteira distante – estabeleçam valores estáveis ​​à medida que n se torna maior. Isso nos encoraja a olhar para a caminhada de João quando n vai em direção ao infinito (Dicotomia de Zenão), o que resulta no processo matemático conhecido como o Processo de Wiener .

WienerProcess

(Crédito da foto: Shiyu Ji / Wikimedia Commons)

Agora, vamos nos afastar do exemplo grosseiro de um John bêbado de volta para o grão de pólen. Quando um grão de pólen flutua, ele está sendo fustigado por milhões de moléculas de água que estão zunindo umas às outras de forma tão complexa que é efetivamente aleatória. Agora, a cada segundo, um único grão de pólen é bombardeado milhares de vezes, cada vez ganhando um minúsculo empurrão. O efeito geral desses toques é o movimento errante que Robert Brown observou.

Agora, deve ser dito que há uma grande diferença entre milhões de pequenas partículas e o processo de Weiner, com a diferença principal sendo os milhões de minúsculos toques. Mesmo que esses infinitos possam ser manipulados em ordem matemática com um pouco de trabalho extra, eles apenas se aproximam de uma situação física. Ainda assim, eles se aproximam muito bem, e o próprio processo de Weiner acaba sendo muito útil em outras áreas e assuntos, como finanças altas. Em 1900, houve uma tese de doutorado intitulada Teoria da especulaçãopor Louis Bachelier. Nele foi feita uma análise dos movimentos de preços na bolsa de valores de Paris usando a então nova teoria do movimento browniano. As idéias de Bachelier não foram reconhecidas até a década de 1960, mas à medida que a era do computador começou, o Movimento Brownian tornou-se uma maneira popular de simular movimentos de preços de ações no futuro. As técnicas de passeio aleatório modelam o comportamento imprevisível que evolui, no qual cada mudança é independente das anteriores; O movimento browniano leva isso à conclusão final.

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Referências:

  1. Processo de Wiener
  2. Movimento browniano

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