Por que é BODMAS ou PEDMAS nessa ordem?

Se você acha que 2 + 2 × 2 é igual a 8, então parabéns! Você está errado. A resposta correta é 6. Por quê? Porque a multiplicação tem precedência sobre a adição, então os dois últimos 2s são multiplicados primeiro, e o produto é então adicionado ao primeiro 2, tal que o resultado é 6. Agora, com isso em mente, o que é 2 × 2-4 ÷ 2 igual a? Qual operação tem precedência então?O ensino médio nos ensinou que, quando atolados em tal problema, devemos buscar o soberano BODMAS, que é frequentemente chamado de PEDMAS. Este método nos mostra o caminho declamando a ordem cardinal: Suportes Abertos Divisão-Multiplicação-Adição-Subtração. Ou Parêntese-Exponentes-Divisão-Multiplicação-Adição-Subtração. De acordo com a ordem, a divisão tem precedência sobre a multiplicação, então 2 × 2-4 ÷ 2 é igual a 2, não 0. No entanto, devemos acreditar cegamente nesse método? Por que a ordem é tão particular? Por que o pedido não é BOSAMD ou qualquer uma das outras 240 permutações?

Se a matemática é a língua em que o universo fala, e essas operações são suas conjunções, certamente, como seria de esperar, a ordem deve ser baseada na lógica e não ser escolhida arbitrariamente, certo? Surpreendentemente, este não é o caso … mas também é.

Por que BODMAS?

O BODMAS ou o PEDMAS é simplesmente uma convenção, um padrão e, como qualquer padrão, é concebido para tornar os processos, aqui os cálculos, menos confusos e ambíguos. Nos exemplos acima, abstive-me deliberadamente de usar parênteses e observei quão ambíguos, pelo menos para um novato, os cálculos se tornam. Conveniência é, na verdade, porque usamos colchetes. O único propósito de um par de colchetes é condensar o que normalmente seria escrito como um cálculo muito longo e pesado.

Adição e subtração são as operações maiselementares, no sentido de que sua operação não é afetada pela direção. Considere este cálculo:

5 + 5 + 5 + 6 + 7 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 1

Obtemos o mesmo resultado, independentemente da direção em que adicionamos os números. De fato, não é necessário adicionar um caminho particular e linear: adicione 6 a 1 e o resultado a 5, ou seja, pode-se adicionar os números em qualquer ordem aleatória, e o resultado é o mesmo, que é 45. No entanto, é óbvio que o processo é complicado.

Sabemos que a multiplicação é apenas uma adição repetida, enquanto a divisão é apenas subtração repetida. Portanto, podemos condensar nosso cálculo para isso:

(5 × 3) + 6 + 7 + (3 × 4) + 4 + 1

Quando montamos as unidades ou executamos o processo em sentido inverso, percebemos a importância dos parênteses. Agora, parece incorreto ler a soma como uma sentença em inglês, ou seja, da esquerda para a direita. O 3 não deve ser adicionado a 6, porque o produto de 5 e 3 forma umsub-cálculoseparado e, portanto, torna-seelementar,outro constituinte a ser adicionado ao restante dos constituintes.Para identificar esse sub-cálculo e seus limites, usamos colchetes. Vamos adicionar algumas variáveis ​​ao nosso cálculo:

4b + ac + ab + 4d + ad + 4c

Isso pode ser reduzido para:

(4 + a) (b + c + d)

Pode-se argumentar que sacrificamos nossa liberdade de escolher a ordem, mas de fato ganhamos mais do que perdemos. O que conseguimos é, sem dúvida, mais simples e mais fácil de resolver. O que antes era uma soma de seis produtos é agora apenas um produto de duas somas. Em algum momento da história da matemática, alguém percebeu que, em vez de escrever uma longa sequência de adições e subtrações e talvez multiplicações (o E em PEDMAS significa exponencial, que é apenas multiplicação repetida), pode-se simplesmente condensá-las dessa maneira com a ajuda de parênteses. Os colchetes devem ser abertos primeiro, ou o que quer que esteja dentro dos colchetes deve ser calculado primeiro, porque é assim que a computação é desfeita logicamente. Nós, no entanto, provamos isso ao contrário.

Em seguida, a razão pela qual multiplicação e divisão devem ser executadas antes da adição e subtração é que as duas primeiras são evidentemente operaçõesmais altas. Contemple o significado dos cálculos, em vez de lê-los como uma frase. Se alguém lhe pedir para comprar 6 maçãs e 3 dúzias de ovos, o total de objetos que você compraria seria 108 ou 42? A soma, que se parece com 6+ (3 × 12), é igual a 42 e não a 108. É por isso que BODMAS ou PEDMAS podem parecer arbitrários e, portanto, “improváveis”, mas com certeza são lógicos.

No entanto, o BODMAS não é o único mnemônico da matemática, mas é o mais conveniente. A notação polonesa reversa é outro mnemônico, exceto que é excepcionalmente pesado. Grandes cálculos baseados em RPN seriam efetivamente impossíveis. BODMAS é sem dúvida o melhor mnemônico que já concebemos. (Crédito da foto: Wallpoper / Wikimedia Commons)

De fato, a noção de que BODMAS ou PEDMAS é uma “regra” rígida tornou o ensino de matemática pior. A regra simplesmente determina que os colchetes devem ser abertos pela primeira vez para desdobrar o cálculo, após o qual deve ser executadaqualquer umadas duas operaçõessuperioresantes dequalquer umadas duas operaçõesinferiores. Não há compulsão para dividir antes de multiplicar ou adicionar antes de subtrair; só se deve garantir que operações superiores sejam realizadas primeiro. É por isso que, mesmo que o quebra-cabeça 2 × 2-4 ÷ 2 na introdução tenha sido resolvido, na explicação, dividindo o 4 primeiro, não é essencial. Multiplicação e divisão são igualmenteclassificados– um pode executar o primeiro primeiro ou talvez ambos simultaneamente, apenas não após a subtração.

Da mesma forma, as pessoas muitas vezes acreditam cegamente que, de acordo com a regra, a adiçãodeveser realizada antes da subtração. Se este for o caso, não deveria 8-5 + 3 ser igual a 0? A resposta correta é, naturalmente, 6, que obtemos quando escrevemos a soma como 8 + (- 5) +3. Observe agora como, porque estamos apenas adicionando números, o resultado não é afetado pela ordem ou direção de adição. Colocando -5 entre parênteses e sugerindo que subtração é apenas adição, mas com um número negativo, obtemos a resposta correta. Simples e conveniente, mas não arbitrário.