Qual é o Quebra-cabeça Quatro Quatros?
Você gosta de desafios? Você costuma se orgulhar de seu brilho matemático? Você sempre age indignado ou envergonhado, mas secretamente ama as acusações de ser um nerd? Se sim, então este desafio é para você. O problema dos quatro quatros foi publicado no “Mathematical Recreations and Essays” escrito por WW Rouse Ball em 1914, que descrevia desinteressadamente o problema como “tradição de recreação”. No entanto, a lunática do enigma é conhecido por ter sido o primeiro evocado no 19 º século, e sua popularidade estava em seu apogeu por volta de 1890. Aos poucos, cresceu menos conhecido, até Rouse publicou seus ensaios e reavivou o interesse no quebra-cabeça.O quebra-cabeça cresceu lentamente em um passatempo intelectual. Até mesmo Paul Dirac, o físico ganhador do Prêmio Nobel que descobriu antipartículas e é amplamente elogiado por seu gênio matemático ao lado de Richard Feynman, experimentou e, como seria de esperar, resolveu o problema. Ou melhor, como vamos descobrir, ele ainvadiu.
As regras
As regras são simples: crie todo o número inteiro, de 0 a infinito, usando expressões matemáticas que consistem apenas de quatro quatros manipulados por qualquer número de operações matemáticas. Por exemplo,
pode ser expresso como, enquantopode ser expresso comoeComo(lembre-se que, de acordo com BODMAS, a divisão ocorre antes da subtração) e assim por diante, para o maior número que você pode criar. Além disso, como um trecho de código, mais expressões de espaço e tempo eficientes são favorecidas. Por exemplo,pode ser expressa de forma ainda mais sucinta.
No entanto, as quatro operações básicas só podem criar um punhado de números. Portanto, devemos nos voltar para outras operações. Isso incluiria a concatenação ou a combinação de dois números para formar um número maior, como, fatorials como, pontos decimais, raízes quadradas, exponencial e consequentemente logaritmos. Essas operações nos permitem expressar númerosao infinito!Por exemplo, 47 pode ser expresso como(novamente, BODMAS diz que a divisão deve ocorrer primeiro). Ou, e isso é brilhante, 49 pode ser expresso como. Experimente, é realmente 49! Além disso, porque não podemos usar qualquer outro número, mesmo o decimalizedestá escrito comoe não.
Alguns chegam a invocar operações absurdas ou atípicas, como a porcentagem ou mesmo permutação e combinação (4P4 e 4C4). Por exemplo, 99 pode ser expresso como, que é 100-1 ou 99. No entanto, os tradicionalistas podem chamar a introdução de operações atípicas, trapaça ou sofisticação. Um sofista é alguém que raciocina com argumentos inteligentes – mas falsos.
Os métodos são inteligentes, mas não inteiramente falsos. O que perturba algumas pessoas é que esses novos métodos simplificam o quebra-cabeça, o que tira a diversão dele, como jogar basquete com um aro de anão. Além disso, se esses truques não bastassem, os matemáticos criaram uma fórmula que lhes permitia expressar números ao infinito. Há rumores de que Dirac tenha chegado à mesma generalização quando confrontou o quebra-cabeça e foi acusado dehackeá-lo.
O hack
O hack depende de uma das operações mais comuns, mas menos compreendidas – o logaritmo. Deixe-me primeiro lembrá-lo de como os logaritmos funcionam. E se, então. Por exemplo,, assim sendo,.
Agora, as regras exigem que usemos apenas o número 4, então a base de logaritmos que empregamos deve ser limitada a 4. Por exemplo, se, então. Ou se, então. Pode-se discernir o surgimento de um padrão aqui –. Vamos denotar essa expressão por X. Mesmo que você não entenda o princípio de funcionamento dos logaritmos, lembre-se dessa fórmula para passar o restante do artigo.O valor de n em X nem precisa ser um número inteiro. Essa característica é crucial para o hack. Agora, o artigo fica um pouco mais complicado a partir daqui, então um grau moderado de coragem é esperado do leitor. Vamos ligar ½ no lugar de n, em X, que se traduz emou. Nós vemos que X se torna ½. Da mesma forma, o valor de X para n = ¼ oué ¼ e depois 1/8 quando n é 1/8 e assim por diante.
Agora, vamos executar a mesma operação logarítmica X, mas substitua 4 por ½. Por exemplo,eoueoue assim por diante. Você pode praticamente sentir o cheiro do hack daqui.
Os números no lado direito do sinal de igual aumentam a cada vez que aumentamos o número para o qual ½ é aumentado. Essa incremento poderia atingir o infinito se incrementássemos o poder em ½ad infinitum.
Se nós expressássemos a operação à esquerda com quatro quatros, nós resolveríamos ou “hackearíamos” o quebra-cabeça.
Consulte novamente X e você perceberá que os poderes denomeadamente,pode ser expresso com o próprio X! Agora, X usa dois quatros, então precisamos dos dois restantes para resolver o quebra-cabeça. Estes dois quatros surgem da nossa necessidade de expressar a base do logaritmo, que é, em termos de quatro, como o uso deé contra as regras. Vamos encontrar uma maneira de expressarem termos de quatro. Agora,pode ser escrito comoque não é senão. E aí resolvemos isso.
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Se os exponenciais não fossem suficientes, os matemáticos espertos usavam logaritmos para resolvê-lo. Essa generalização ou fórmula para produzir qualquer número natural essencialmente aniquila o quebra-cabeça de uma vez por todas. Para produzir qualquer número, deve-se inserir a fórmula, a raiz quadrada de 4, tomada pelo mesmo número de vezes. Dada uma página longa o suficiente, um bilhão ou mesmo infinito pode ser produzido tomando a raiz quadrada de 4 bilhões ou um número infinito de vezes. Por esta razão, os logaritmos foram banidos como uma solução viável para resolver o enigma. No entanto, alguns matemáticos também desprezam este hack porqueparece feio.
O quebra-cabeça tem sido usado há anos por amantes de quebra-cabeças para passar o tempo durante longas viagens em trens ou vôos. Agora, até versões mais novas do quebra-cabeça foram desenvolvidas, versões que podem requerer acuidade matemática superior – os cinco cinco ou seis quebra-cabeças! Mas você tem o que é preciso?