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Como os números irracionais foram descobertos?

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Como os números irracionais foram descobertos?
A matemática é a ciência dos números e, como qualquer outra forma de ciência, ela está em constante evolução. No entanto, as mudanças no pensamento científico não são sempre bem-vindas, uma vez que contradizem a crença popular, embora na maioria dos casos, a crença popular é errado. De forma semelhante, a descoberta de números irracionais desafiou as doutrinas estabelecidas de números e expandiu o mundo da matemática para sempre.

No século 5 aC Grécia, Hippasus foi apontado como um dos primeiros revolucionários. Ele era um filósofo italiano que também era membro de um grupo de pessoas que eram chamadas de matemáticos pitagóricos. Eles acreditavam que “All Is Number”, o que significava que tinham uma reverência religiosa pela matemática e sugeriram que os números eram os blocos de construção do universo.
Segundo eles, tudo poderia ser entendido através da linguagem dos números. Seja o movimento das estrelas no céu noturno, a música que ouvimos, ou mesmo as decisões morais das pessoas. Os matemáticos alegaram que tudo sempre seguia regras eternas e naturalmente se sentiam ameaçados quando essas regras eram questionadas.
O que são números racionais e irracionais?
Nossa primeira base para números e matemática deriva da necessidade prática de contar e medir as coisas. É intuitivo ver como os números naturais positivos, não-zero, surgiriam “naturalmente” do processo de contagem. Mesmo frações são fáceis de compreender, devido à necessidade de dividir quantidades mensuráveis ​​em partes menores. No entanto, o grupo de filósofos era tradicionalista e sua compreensão dos números baseava-se no fato de que cada número poderia ser representado como uma razão de dois números diferentes que não tinham divisor comum exceto 1. Por exemplo, 24 poderia ser representado como 24/1 , Enquanto que 0,6 poderia ser representado como 3/5.
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Agora que é um número irracional!
Estes números são conhecidos hoje como números racionais. O nome, como muitos termos matemáticos, é um termo equivocado e não significa literalmente que esses números são “desprovidos de lógica”. Qualquer número que não poderia ser expresso de forma semelhante é um número irracional. Tal número poderia facilmente ser plotado numa linha numérica, tal como esboçando a diagonal de um quadrado. Embora as pessoas estivessem cientes da existência de tais números, ainda não tinha sido provado que eles contradiziam a definição de números racionais.
Quadrado com lado ‘1’
O que fez Hippasus?
Hippasus é creditado na história como a primeira pessoa a provar a existência de números “irracionais”. Seu método envolveu o uso da técnica de contradição, na qual ele assumiu que “Raiz 2” é um número racional. Ele então continuou mostrando que nenhum número racional poderia existir. Portanto, tinha que ser algo diferente.
A razão que ele escolheu ‘Raiz 2’ para seus cálculos é dupla. Em primeiro lugar, é a técnica mais fácil para provar a existência de números irracionais. Em segundo lugar, tem um grande significado para os pitagóricos. Pythagoras tinha-se provado que a soma dos quadrados dos lados em um triângulo direito é sempre igual ao quadrado da hipotenusa. Para o triângulo recto mais simples, que é de base unitária e altura unitária, o comprimento da hipotenusa é ‘Raiz 2’. Por difícil que ele tentasse expressar isso como uma razão, ele falhou. Em vez de desistir, ele decidiu provar que não podia ser feito.
Meme
Método:
  1. Ele assumiu primeiro que ‘Raiz 2’ é um número racional. Como cada número racional pode ser expresso como uma razão, então, de acordo com sua suposição, mesmo “Raiz 2” poderia ser expresso como p / q, que é uma relação. Aqui, p e q são inteiros e não têm qualquer fatores comuns exceto 1, que é como definimos a forma mais baixa de uma representação de número racional. Por exemplo, 2 poderia ser representado como 4/2 ou 6/3, mas como regra, é representado por sua forma mais baixa 2/1.
  2. Em seguida, ele disse que desde q não é zero, ele poderia ser multiplicado em ambos os lados.
  3. Se ambos os lados são elevados ao quadrado, 2 ( Q) 2 = P 2
  4. Sabemos que quadrados de números ímpares sempre dão um número ímpar, enquanto que o quadrado de um número par sempre dá um número par. Por exemplo 5 2 = 25, 31 2 = 961, 52 2 = 2,704, etc. Uma vez que q é um número inteiro, p teria de ser um número inteiro, mesmo, uma vez que é igual a 2 vezes q 2 . Assim, p poderia ser substituído por 2x, onde x é qualquer inteiro, de modo que 2x é sempre mesmo.
  5. Sobre a substituição p com 2x na equação, obtemos 2T 2 = 4 x 2 ou q 2 = 2x 2. Isto implica que q é também um número inteiro, uma vez que é 2 vezes x 2 .
  6. Curiosamente, a condição inicial era que p e q não poderiam ter quaisquer fatores comuns. No entanto, através da álgebra simples, parece que chegamos à conclusão de que p e q são mesmo inteiros! Se forem uniformes, teriam sempre 2 como um fator comum, o que contradiz nossa condição.
  7. Isto implica que nossa suposição inicial de ‘Raiz 2’ ser um número racional é falsa e, portanto, tem que ser irracional.
Matemático Pythagorean
Matemáticos Pythagorean deferring aos números como a verdade final
Por que mataram Hippasus?
A descoberta de números irracionais poderia ter mudado a matemática como o mundo a conheceu no século 5 aC, mas a mudança não é fácil para os tradicionalistas, ainda mais para os fanáticos! Eles consideravam sua descoberta um ridículo da verdade absoluta, e o condenavam à morte. Ele foi jogado no mar e seu trabalho foi destruído. Alguns acreditam que os pitagóricos estavam tão horrorizados com a idéia de irracionalidade que lançaram Hippassus ao mar em uma viagem por mar e juraram manter a existência de números irracionais em segredo.
Basicamente, ele foi injustamente punido por um crime que trouxe a matemática para uma nova fronteira por pessoas que deveriam estar perseguindo o mesmo objetivo. Grécia antiga soa como um lugar bastante irônico …

Referências:

  1. História dos Números Irracionais –  Brilhante
  2. Descoberta de Números Irracionais – Círculo Tutor
  3. Fazendo sentido de números irracionais – TedEd
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